Способы нахождения обратной матрицы. Рассмотрим квадратную матрицу
Обозначим Δ = det A.
Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной , если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной , если Δ = 0.
Квадратная матрица В есть для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.
Теорема . Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.
Обратная матрица матрице А, обозначается через А - 1 , так что В = А - 1 и вычисляется по формуле
, (1)
где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j матрицы A..
Вычисление A -1 по формуле (1) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить A -1 с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.
Пример 1 . Для матрицы найти A -1 .
Решение.
Находим сначала детерминант матрицы А
значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: , где А i j (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а i j исходной матрицы.
Откуда .
Пример 2 . Методом элементарных преобразований найти A -1 для матрицы: А= .
Решение.
Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: . С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.
Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: ~
. К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2: . Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй; . Прибавим третий столбец к первому и второму: . Умножим последний столбец на -1: . Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной матрицей к данной матрице А. Итак,
.
Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А именно – в ходе изучения данной лекции вы научитесь находить обратную матрицу. Научитесь. Даже если с математикой туго.
Что такое обратная матрица? Здесь можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число . Произведение данных чисел равно единице: . С матрицами всё похоже! Произведение матрицы на обратную ей матрицу равно – единичной матрице , которая является матричным аналогом числовой единицы. Однако обо всём по порядку – сначала решим важный практический вопрос, а именно, научимся эту самую обратную матрицу находить.
Что необходимо знать и уметь для нахождения обратной матрицы? Вы должны уметь решать определители . Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с ними.
Существует два основных метода нахождения обратной матрицы:
с помощью алгебраических дополнений
и с помощью элементарных преобразований
.
Сегодня мы изучим первый, более простой способ.
Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу можно найти по следующей формуле :
Где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц , матриц «два на два», «три на три» и т.д.
Обозначения : Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом
Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.
Пример:
Найти обратную матрицу для матрицы
Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.
1) Сначала находим определитель матрицы .
Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель?
Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ .
В рассматриваемом примере, как выяснилось, , а значит, всё в порядке.
2) Находим матрицу миноров .
Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель .
Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае .
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.
Возвращаемся к нашей матрице
Сначала рассмотрим левый верхний элемент:
Как найти его минор
?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:
Оставшееся число и является минором данного элемента
, которое записываем в нашу матрицу миноров:
Рассматриваем следующий элемент матрицы :
Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:
То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:
Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:
Готово.
Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ
у двух чисел:
Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!
– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
И всего-то лишь…
4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
5) Ответ .
Вспоминаем нашу формулу
Всё найдено!
Таким образом, обратная матрица:
Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами .
Как проверить решение?
Необходимо выполнить матричное умножение либо
Проверка:
Получена уже упомянутая единичная матрица – это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах.
Таким образом, обратная матрица найдена правильно.
Если провести действие , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Матричные выражения . Также заметьте, что в ходе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём.
Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три»:
Пример:
Найти обратную матрицу для матрицы
Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».
Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
1) Находим определитель матрицы .
Здесь определитель раскрыт по первой строке
.
Также не забываем, что , а значит, всё нормально – обратная матрица существует .
2) Находим матрицу миноров .
Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел.
Я подробно рассмотрю парочку миноров:
Рассмотрим следующий элемент матрицы:
МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:
Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»
Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента
. Его нужно вычислить:
Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:
Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.
Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках:
Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.
Окончательный результат:
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.
3) Находим матрицу алгебраических дополнений .
В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ
строго у следующих элементов:
В данном случае:
Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподаватель-садист (чтобы студент вычислил один определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три»). В моей практике встретился только один такой случай, и заказчик контрольной работы заплатил за мои мучения довольно дорого =).
В ряде учебников, методичек можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, однако я рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше.
Для решения системы линейных уравнений (3) относительно x 1 воспользуемся методом Гаусса .
Аналогичным образом решаются остальные системы линейных уравнений (2).
Наконец группа векторов столбцов x 1 , x 2 , ..., x n образует обратную матрицу A -1 .
Заметим, что один раз находя матрицы перестановок P 1 ,P 2 , ... , P n-1 и матрицы исключений М 1 , М 2 , ..., M n-1 (см. страницу Метод исключения Гаусса) и построив матрицу
M=M n-1 P n-1 ...M 2 P 2 M 1 P 1 ,
систему (2) можно преобразовать к виду
- MAx 1 =Me 1 ,
- MAx 2 =Me 2 ,
- ......
- MAx n =Me n .
Отсюда находятся x 1 ,x 2 , ..., x n , при разных правых частях Me 1 , Me 2 , ..., Me n .
При вычислении обратной матрицы более удобно с правой стороны исходной матрицы добавить единичную матрицу и применять метод Гаусса в прямом и обратном направлениях.
Рассмотрим это на примере.
Пример вычисления обратной матрицы
Пусть требуется найти обратную матрицу A -1 для данной матрицы A :
Запишем с правой стороны единичную матрицу:
Выбираем ведущий элемент "4" (т.к. он самый большой по модулю) и переставляем местами первую и третью строки:
Применяем Гауссово исключение для первого столбца:
Переставляем вторую и третью строки и применяем Гауссово исключение для второго столбца.
1. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица- вырожденная и обратной матрицыне существует. Если, то матрицаневырожденная и обратная матрица существует.
2. Находим матрицу , транспонированную к.
3. Находим алгебраические дополнения элементов и составляем из них присоединенную матрицу.
4. Составляем обратную матрицу по формуле .
5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения:.
Пример. Найти матрицу, обратную данной: .
Р е ш е н и е.
1) Определитель матрицы
.
2) Находим алгебраические дополнения элементов матрицы и составляем из них присоединенную матрицу :
3) Вычисляем обратную матрицу:
,
4) Проверяем:
№4 Ранг матрицы. Линейная независимость строк матрицы
Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.
В матрице размеромвычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы-го порядка, где. Определители таких подматриц называютсяминорами -го порядка матрицы .
Например, из матриц можно получить подматрицы 1, 2 и 3-го порядка.
Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение:или.
Из определения следует:
1) Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е..
2) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е..
3) Для квадратной матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда матрица- невырожденная.
Поскольку непосредственный перебор всех возможных миноров матрицы , начиная с наибольшего размера, затруднителен (трудоемок), то пользуются элементарными преобразованиями матрицы, сохраняющими ранг матрицы.
Элементарные преобразования матрицы:
1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).
2) Умножение всех элементов строки (столбца) на число .
3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.
4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.
5) Транспонирование матрицы.
Определение. Матрица , полученная из матрицыпри помощи элементарных преобразований, называется эквивалентной и обозначаетсяА В .
Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.
С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.
Матрица называется ступенчатой если она имеет вид:
Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк , т.к. имеется минор-го порядка, не равный нулю:
.
Пример. Определить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.
Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк, т.е. .
№5Линейная независимость строк матрицы
Дана матрица размера
Обозначим строки матрицы следующим образом:
Две строки называются равными , если равны их соответствующие элементы. .
Введем операции умножения строки на число и сложение строк как операции, проводимые поэлементно:
Определение. Строка называется линейной комбинацией строкматрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа(любые числа):
Определение. Строки матрицы называютсялинейно зависимыми , если существует такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:
Где . (1.1)
Линейная зависимость строк матрицы обозначает, что хотя бы 1 строка матрицы является линейной комбинацией остальных.
Определение. Если линейная комбинация строк (1.1) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты , то строкиназываютсялинейно независимыми .
Теорема о ранге матрицы . Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные строки (столбцы).
Теорема играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности, при исследовании систем линейных уравнений.
№6 Решение системы линейных уравнений снеизвестными
Системы линейных уравнений находят широкое применение в экономике.
Система линейных уравнений спеременными имеет вид:
,
где () - произвольные числа, называемыекоэффициентами при переменных и свободными членами уравнений , соответственно.
Краткая запись: ().
Определение. Решением системы называется такая совокупность значений , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
1) Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет решений.
2) Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения.
3) Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными ) , если они имеют одно и то же множество решений (например, одно решение).
Матричная алгебра - Обратная матрицаОбратная матрица
Обратной матрицей
называется матрица, которая при умножении как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу.
Обозначим обратную матрицу к матрице А
через , тогда согласно определению получим:
где Е
– единичная матрица.
Квадратная матрица
называется неособенной
(невырожденной
), если ее определитель не равен нулю. В противном случае она называется особенной
(вырожденной
) или сингулярной
.
Имеет место теорема: всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу.
Операция нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы. Рассмотрим алгоритм обращения матрицы. Пусть дана неособенная матрица n -го порядка:
где Δ = det A ≠ 0.
Алгебраическим дополнением элемента
матрицы n
-го порядка А
называется взятый с определенным знаком определитель матрицы (n
–1)-го порядка, полученной вычеркиванием i
-ой строки и j
-го столбца матрицы А
:
Составим так называемую присоединенную
матрицу:
где– алгебраические дополнения соответствующих элементовматрицы А
.
Заметим, что алгебраические дополнения элементов строк матрицы А
размещаются в соответствующих столбцах матрицы Ã
, то есть одновременно производится транспонирование матрицы.
Разделив все элементы матрицы Ã
на Δ – величину определителя матрицы А
, получим в результате обратную матрицу:
Отметим ряд особых свойств обратной матрицы:
1) для данной матрицы А
ее обратная матрица
является единственной;
2) если существует обратная матрица , то правая обратная
и левая обратная
матрицы совпадают с ней;
3) особенная (вырожденная) квадратная матрица не имеет обратной матрицы.
Основные свойства обратной матрицы:
1) определитель обратной матрицы и определитель исходной матрицы являются обратными величинами;
2) обратная матрица произведения квадратных матриц равна произведениюобратных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке:
3) транспонированная обратная матрица равна обратной матрице от данной транспонированной матрицы:
П р и м е р. Вычислить матрицу, обратную данной.